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AI数学领域近来可谓风起云涌。
OpenAI不久前一次性发布了722份数学证明，引发数学界的强烈反对；而另一边，谷歌DeepMind的数学研究则成功登上了《Science》期刊。
一边是批量公开待验证的手稿，将审核负担转嫁给数学家；
另一边则耐心等待数月，严格走完同行评议流程，接受了数学界的检验。
来自卡内基梅隆大学和南卡罗来纳大学的两位数学家，在同期《Science》上发表了评论文章：《AI已为数学研究做好准备》。
看来，当OpenAI那边还在为数学证明的发布方式争论不休时，DeepMind这边已经赢得了数学家的公开认可。
DeepMind此次的核心是AlphaProof Nexus，这是一个由Gemini驱动的AI数学证明Agent框架。
它成功解决了9道埃尔德什开放问题，其中有两道题目已经悬而未决长达56年。
除了这9道难题，它还顺手证明了OEIS整数序列百科中的44个猜想，攻克了一道搁置15年的代数几何难题，并改进了凸优化领域一个长期沿用的理论边界。
说起来，DeepMind也算是《Science》期刊的常客了。
这篇数学论文共有20位作者，其中就包括当年AlphaGo的核心研究员Aja Huang。
攻克56年悬赏难题
DeepMind从已有Lean形式化版本的问题中挑选了353道，交由AlphaProof Nexus尝试，最终成功解出9道。
其中，Erdős #12于1970年被提出，至今已有56年未获解答。
这道题的问题是：
能否找到一个无限大的整数集合，使得集合中的数字满足严格的整除限制，同时还能保持足够大的规模？
具体而言，任意选取其中三个满足条件的整数，较小的那个不能整除另外两个较大整数的和，并且这个集合不能过于稀疏。
自1970年起，一直没人能给出这个集合的完整构造，尽管有各种局部进展，但始终无法拼凑成一个整体解。
这次，AlphaProof Nexus的解法采用了分块构造策略。
首先，将待构造的无限集合拆分成一个个整数区块；
接着，利用中国剩余定理，并结合避免三项等差数列的集合性质，确保每个区块满足局部整除条件；
最后，将所有区块拼合回一个完整的无限集合。
此外，还有Erdős #125，于1996年提出，30年来未有定论。
设想两个数字集合：
第一个集合包含所有“在三进制下仅由数字0和1组成的整数”；
第二个集合包含所有“在四进制下仅由数字0和1组成的整数”；
将这两个集合中的所有数字两两相加，得到一个新的集合。
问题是：这个新集合中的数字在自然数中出现的频率（数学上称为下密度）是否为正值？
直觉上，你可能会认为这两个集合包含的数字本身就不多，加起来应该也比较稀疏。
但稀疏到什么程度？是彻底稀疏到密度为零，还是能保持一定的正密度？
这其中的差异非常微妙，自1996年提出后一直悬而未决。
AlphaProof Nexus给出的答案是：下密度为零。
证明的关键在于log₄/log₃是一个无理数。
这意味着3的幂和4的幂可以在适当尺度下无限接近。
利用这一点，AI构造了一个归纳性稀疏化论证：不断找到两个几乎对齐的尺度，使集合密度逐步衰减，直至完全归零。
最终证明该集合的下密度确实为零。
Erdős #846，于1992年提出，困扰人类34年。
这是一个关于平面点集的问题。
能否构造一个无限大的平面点集，使其具备一种奇特的性质：
从中任意取出有限个点，都能找到一个规模足够大的子集，使得其中没有三点共线。
但如果试图将整个无限点集拆分成有限个完全没有三点共线的集合，却无法做到。
简单来说，就是局部看起来很有规律，但整体上却怎么也拆不干净。
AlphaProof Nexus给出的证明采用了一种巧妙的数学构造。
它将无限完全图的边映射成平面上的点，用多项式表达式编码坐标，再结合无穷组合数学中的相关结论，完成了证明。
一个平面几何问题，最终被转化为图论与组合数学问题来解决。
除了这三道题，还有六道分别涉及整除集构造、范德瓦尔登数间隙、西顿集孤立点、集合拆分密度等领域。
在完成埃尔德什问题后，它又跑到OEIS整数序列百科中证明了44个开放猜想。
连代数几何和凸优化领域也未曾放过。
在代数几何方面，它解决了一道关于希尔伯特函数对数凹性的15年悬案；在凸优化方面，它改进了一个锚定梯度下降法的理论边界。
Gemini书写证明，Lean负责判卷
AlphaProof Nexus的核心工作方式如下：
Gemini 3.1 Pro编写证明 → Lean进行验证 → 将错误信息反馈给Gemini → 修改证明 → 再次验证，如此循环，直至证明全部通过。
围绕这套流程，DeepMind设计了四种Agent配置。
最简单的Agent A，就是多个独立的子Agent同时尝试证明。
每个子Agent都通过Gemini生成Lean代码，并根据编译器反馈不断修改。
整个过程没有额外的辅助工具，纯粹依靠写代码和查错的循环。
Agent B增加了AlphaProof。
这是DeepMind此前开发的专门数学证明系统。
当遇到难以解决的子问题时，Agent可以调用AlphaProof进行针对性搜索。
Agent C引入了进化搜索。
多个Agent将不同的证明草稿放入共享数据库，再由基于Gemini 3.0 Flash的评分Agent比较草稿的合理性、清晰度和新颖性。
系统将比较结果汇总成Elo评分，并据此挑选值得继续探索的证明路线。
Agent D则是完整版本。
它将AlphaProof和进化搜索都整合进来，也是这次批量探索开放问题时使用的主要配置。
按理说，功能越多，效果应该越好。
但DeepMind后来进行的一组对照实验发现，最简单的Agent A，居然也能解出全部9道埃尔德什问题。
没有进化算法，没有AlphaProof，仅依靠LLM循环加编译器反馈的Agent A，只是在处理难题时成本更高一些。
在#125和#138等困难问题上，完整版Agent的成本效率比基础版本高出约2至5倍。
综合计算下来，这次AlphaProof Nexus解一道题的成本大约在几百美元……
此次的整套Lean证明代码已经公开，外界可以直接查看。
说起来，埃尔德什生前曾为许多数学难题设立现金悬赏，鼓励世界各地的数学家前来挑战。
如今，除了数学家的智慧，算力也开始成为解开这些悬赏难题的关键因素。
本文来自微信公众号“量子位”，作者：关注前沿科技，36氪经授权发布。
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